miércoles, 31 de diciembre de 2014

Ojo de Horus

En ampliación a la publicación: Temas Místicos Rosacruces: La Pineal o Epífisis (séptima rosa)

publicamos este envío, que agradecemos.

La pineal o epífisis es la que se relaciona con lo que los orientales llaman el ojo de Horus.

Quizás amerite ampliar esto y que sea de vuestro agrado:
“la glándula Pineal hay que tener en cuenta, que forma parte de un sistema mayor y que enriquece sus funciones y les da la fuerza y asentamiento precisos. En este sistema se incluyen las glándulas:Timo, Pituitaria, Pineal y el Hipotálamo, como pilar y sustento de todo el conjunto. Pero también, necesitamos un anclaje para todo este sistema de activación frecuencial que nos permita estar estables, y que nuestro organismo no sienta alteraciones ante este torrente de energía, por lo que también tendremos que activar y trabajar con las glándulas suprarrenale, que son las que están en sintonía con el chakra Raíz, encargado de este anclaje. De aquí, la energía descenderá hasta la tierra siguiendo el canal de conexión con ella.

Las glándulas, en general, son centros del control de nuestro organismo, desde el punto de vista físico, pero también tienen una implicación y actividad asociada a nuestro sistema anatómico energético.

Las Glándulas Endocrinas son los puntos de conexión del cuerpo físico con el energético a través de los chakras. Estos dos puntos, glándula y chakra, son los enlaces que hacen que la energía entre en el cuerpo y lo reestructure, así como la red electromagnética que lo recubre. Así, las glándulas, se consideran portales o puentes a los distintos planos o niveles de conciencia. Dependiendo de la glándula podremos conectar con uno u otro plano, en resonancia con el tipo de energía que mueven y sus funciones orgánicas. Si seguimos el orden de planos desde el más próximo a 3D, al más alejado, el orden glandular sería el siguiente:

Adrenales o Suprarrenales, Gónadas, Páncreas, Timo, Tiroides, Pituitaria o Hipófisis y Pineal o Epífisis. Sobre ellas está el Hipotálamo como filtro de todo, como puente entre el sistema nervioso y el hormonal.

Otro aspecto muy importante para la activación del Ojo de Horus, es que no es una activación mecánica, que con tocar energéticamente o poniendo unos símbolos, es suficiente, es más que todo eso. Para una verdadera, armoniosa y duradera activación del Ojo de la Mente, es preciso un constante trabajo interno, hay que ser responsables de lo que se quiere hacer y de la propia evolución, entendiendo que si no se produce este trabajo, no se dará una transformación de base, necesaria y fundamental para que la glándula pineal y todo el sistema cambie su frecuencia y se active. Es preciso que haya una total conexión con el ser interno y, por tanto, que se tenga bien identificado todo lo que desde la sombra actúa sobre nuestra psique y nos trampea el camino. Pero, ¿qué es esto que está en la sombra? Nuestro propio inconsciente, lo que tenemos ahí guardado y tapado para que parezca que no existe, que no está.

Por tanto, cuando realizamos este trabajo de reconocimiento interno y de depuración de todo aquello que no vibre en la frecuencia adecuada, tenemos que entender que lo más importante es conseguir unificarnos como un ser y, para esto, mente y corazón tienen que ir de la mano. Esto dos puntos son las dos piedras angulares de nuestro ser y, por tanto, no pueden ir cada una por un lado, es fundamental que caminen de la mano y se ayuden a realizar los cambios.

El humano en realidad tiene dos cerebros, el intelectual y el emotivo; el que piensa y el que ama. Pero solo cuando lo unificamos, podemos decir que pensamos con el corazón y sentimos con el cerebro y no es ninguna tontería o juego de palabras, porque la realidad es ésta. A esto se le llama la unificación mente-corazón y así y solo así podremos caminar unificados.

Para conectar y activar este Ojo de Horus o el Ojo de la Mente, se realizan una serie de iniciaciones, mediante meditaciones y visualizaciones guiadas, que lo posibiliten. No son ejercicios para abrir la clarividencia, sino para despertar la visión interna, la visión espiritual que nos indicará lo que en realidad son las cosas. Nos mantendrá despiertos y alertas independientemente de nuestro estado de vigilia o de sueño.

Igualmente, la glándula pineal, tendrá una mejor actividad y no solo para nuestros dones o despertar a los otros niveles de conciencia, sino también a su funcionalidad física.

Así, sucederá que podremos conectar con nuestra Sabiduría ancestral, a través de mi auténtico Yo, por tanto, podremos decir: YO SE, PORQUE YO SOY.

Re;: Sol Ahimsa

Ing. Jose Mejia

Agradecemos a Ing. José Mejia, por este aporte

Saludos de fin de año

S A L U D O S D E F I N D E A Ñ O

Ya faltan pocas horas para que termine el año 2014, por lo que es bueno hacer un análisis de todo lo actuado durante el mismo y para ello es bueno recordar las palabras iniciales de la Meditación para el Mes Solar de Capricornio, que dice lo siguiente:

“El año pasado queda atrás y delante de nosotros se extiende el nuevo año, como una hoja en blanco, en la que podemos escribir nuestras nuevas resoluciones.

Pero ante todo es preciso que primeramente nos examinemos el corazón, desde el punto de vista de las experiencias que hayamos tenido durante el año transcurrido, a fin de poder extraer lo que nos servirá de guía en los futuros días que nos esperan, días quizás llenos de nuevas y ricas posibilidades, tanto para la adquisición de salud espiritual como física.”

En verdad se trata de hermosas palabras que venimos escuchando todos los días previo a la lectura del Servicio del Templo, a partir del 22 de Diciembre y que por lo tanto, haríamos bien en dejarlas grabadas profundamente en nuestra memoria, para que como nos lo dice el texto, nos sirvan de guía durante todo el tiempo que tenemos por delante, de manera tal que podamos escribir en esa hoja en blanco imaginaria, solamente acciones y pensamientos nobles y elevados, que sean dignos de auténticos seguidores de nuestro Señor, Cristo Jesús.

Para todos nuestros amigos y hermanos, es el más ferviente anhelo nuestro, de que en este nuevo Año 2015, se concreten vuestros mejores deseos fervientes de superación espiritual y que felizmente puedan las Rosas Florecer en Vuestras Cruces.-

ASOCIACION INTERNACIONAL DE CRISTIANOS

MISTICOS MAX HEINDEL

Colombres 2113 – Barrio Lomas de San Martín

5.008 – Córdoba – República Argentina

E-mail: cristianosmisticos@argentina.com

Agradecemos al Sr. Raúl Sasia, por este aporte

lunes, 29 de diciembre de 2014

Ami, El Niño de las Estrellas. Audio Completo

Cuando alguien es capaz de ver que su desarmonía u oscuridad interior le impide el acceso a realidades más gratas, puede que también comprenda que si quiere vivir una realidad más feliz, deberá emprender el camino del crecimiento personal, buscando la superación de sus defectos, la armonización con el fluir de la vida universal y con sus leyes, todo eso lleva al despertar. Una persona relativamente despierta siente que la vida es hermosa, que es una oportunidad extraordinaria para amar, disfrutar, crecer y ayudar a otros, aunque haya momentos duros.

Pedro, un niño de diez años, pasa sus vacaciones de verano en un pueblo costero. Una noche, en la playa, traba amistad con un "niño" extraterrestre llamado Ami. Junto a su nuevo amigo, vivirá una serie de experiencias insólitas y sorprendentes: recibirá unas breves lecciones de vuelo, luego, él y Ami viajarán a bordo de una nave espacial por diversos lugares del planeta e incluso visitarán otros mundos. Ami le enseñará a Pedro que el Amor es la ley fundamental del universo, que la evolución no es otra cosa que acercarse al Amor y que el ego es la barrera que nos frena y que impide que se manifiesten nuestros mejores sentimientos.

vídeo en audio desde aquí:

https://www.youtube.com/watch?v=DomPoZn56Uk

http://libralbedrio.blogspot.com.ar/2014/12/ami-el-nino-de-las-estrellas-audio.html

sábado, 27 de diciembre de 2014

Servicios año 2015 FRC

http://www.rosicrucianfellowship.org/student/Spanish/dates2015s_spa.pdf

miércoles, 24 de diciembre de 2014

Teorema de Pitágoras - problema Nº 47 de Euclides

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes

a \,

b \,

, y la medida de la hipotenusa es

c \,

, se establece que:

(1) $c^2 = a^2 + b^2 \,$

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

a = \sqrt {c^2 - b^2}

b= \sqrt{c^2-a^2}

c = \sqrt {a^2 + b^2}

Índice

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Historia[editar]

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Designaciones convencionales[editar]

Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices	$\text{A}$	$\text{B}$	$\text{C}$
*Lados (como segmento)*	$\text{BC}$	$\text{AC}$	$\text{AB}$
*Lados (como longitud)*	$a$	$b$	$c$
Ángulos	$\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC}$	$\widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC}$	$\widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}$

Demostraciones[editar]

El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

China: el "Zhou Bi Suan Jing", y el "Jiu Zhang Suan Shu"[editar]

Prueba visual para un triángulo dea = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.

El "Zhou Bi" es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al "Jiu Zhang" parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.

El "Zhou Bi" demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

a^2 + b^2 = c^2\,

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado cformando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \,

Ya que

(b-a)^2 = (a-b)^2 \,

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

c^2 = 4 \cdot \left( \frac{a \cdot b}{2} \right) + a^2 - 2ab + b^2= a^2 + b^2

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras[editar]

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.¹

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

\frac {b}{b'}=\frac {c}{b}

b^2\ =\ b'c

De la semejanza entre ABC y BHC:

\frac {a}{a'}=\frac {c}{a}

a^2\ =\ a'c

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

a^2\ +\ b^2 =a'c\ +\ b'c\ =\ c\left (a'+b'\right )

Pero

\left (a'+b'\right )=\ c

, por lo que finalmente resulta:

a^2\ +\ b^2 =c^2

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

S_{PQR}\ =\ \frac {1}{2} \left ( rs \right )

S_{PST}\ =\ \frac {1}{2} \left ( uv \right )

obtenemos después de simplificar que:

\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac {rs}{uv} = \frac {r}{u} \cdot \frac {s}{v}

pero siendo

\frac {r}{u}=\frac {s}{v} = r

la razón de semejanza, está claro que:

\frac {S_{PQR}}{S_{PST}}= \left (\frac {r}{u} \right )^2 = \left ( \frac {s}{v} \right ) ^2

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

\frac {S_{ACH}}{S_{BCH}}= \left (\frac {b}{a} \right )^2

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{BCH}} {a^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

\frac {S_{ACH}}{S_{ABC}}= \left (\frac {b}{c} \right )^2

\frac {S_{ACH}}{b^2} = \frac {S_{ABC}} {c^2}

pero según (I)

\frac {S_{ACH}} {b^2} = \frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 }

, así que:

\frac {S_{ACH} + S_{BCH}}{b^2+a^2 } = \frac {S_{ABC}} {c^2}

y por lo tanto:

b^2 \ +\ a^2 \ = \ c^2

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris (

c^2

) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (

b^2+a^2

), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos[editar]

Figura Euclides 1: La proposición I.41² de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.

Figura Euclides 2: La proposición I.36³ de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

Figura Euclides 3: La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.41² de Los Elementos.

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y losPitagóricos supuso un contratiempo muy serio.⁴ De pronto, lasproporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto,Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

El eje de su demostración es la proposición I.47⁵ de Los Elementos:

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Euclides (proposición I.47)

Basándose en la proposición I.41² de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).

Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:

Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo los lados AD y AC iguales y perpendiculares; y siendo AB y AK también iguales y formando igual ángulo que AD y AC, necesariamente el ángulo DAB es igual al ángulo CAK, por lo que BD=KC. Sus tres lados son iguales.
Triángulos ABG y CBI: análogamente, BA=BI, y BG=BC, así que AG=IC. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ABD en ACK. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.

Véase (en la Figura Euclides 3) que:

Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.41² de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura Euclides 1).
Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendosé razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: "la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa".

Demostración de Pappus[editar]

La proposición I.36³ de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.

Unos 625 años después que Euclides, Pappus⁶ parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposicón I.36³ de Los Elementos de Euclides:

Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:

Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares
El lado CI es igual al lado CB

En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.

Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r ys. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)
Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.

De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.

Análogamente:

CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.
CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.

De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.

El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Bhaskara[editar]

Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.

Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, dio la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que

c^2=a^2+b^2

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:

c^2=4 \cdot \frac {ab}{2}+ (a-b)^2

expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado

c^2=a^2+b^2

, y el teorema queda demostrado.

Demostración de Leonardo da Vinci[editar]

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.

En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.
Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:
- A de ADGB y A de CIJA
- B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Garfield[editar]

El polígono construido por Garfield es un trapecio de bases a y b, compuesto por tres triángulos rectángulos.

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos,⁷ desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia: